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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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三角関数と最大・最小値問題の解き方 〜思考力,発想力なんかいらない!〜

解法まとめ 三角関数

三角関数と最大・最小値問題の解き方

     角度をそろえ,\sin or \cos の一方の式へ
\sin^2\theta +\cos^2\theta=1 の利用→二次関数へ
② 加法定理,半角・倍角の利用→角度をそろえる
➂ 1次の \sin, \cos の和なら合成の利用→\sin の1次式へ
\sin, \cos の対称式なら基本対称式 t=\sin \theta+\cos \theta と置換→t の2次や3次関数へ帰着
⑤①〜④でも無理なら微分で増減調べる(数Ⅲ)

三角関数の最大・最小値問題は式変形が命です.複雑そうに見える式でも上のルールに従って変形することで求めることができます.問題を解きながらパターンを覚えていきましょう.

例題1 ①\sin^2\theta +\cos^2\theta=1 の利用→二次関数へ

y=\sin^2\theta -\cos\theta (0≦\theta≦\pi) の最大値と最小値を求め,そのときの \theta を求めよ.

解答


\begin{align*}
y &=\sin^2\theta -\cos\theta ~~~~{}^{★1}\\
&=(1-\cos^2 \theta)-\cos\theta-1\\
&=-\cos^2\theta-\cos\theta ~~~~{}^{★2}\\
&=-\left(\cos\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}
\end{align*}


f:id:mathchem:20170227150749p:plain:w250:right
-1≦\cos\theta≦1\ \ (∵ 0≦\theta≦\pi) に注意して{}^{★3}
グラフから,\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2},つまり \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3} のとき最大値 \displaystyle \frac{1}{4} をとる.また,\cos\theta=1,つまり \theta=\pi のとき最小値]-2]をとる.


★ポイント

  1. 2乗をみたら \sin2^2\theta +\cos^2\theta=1 を使って \sin または \cos の2次式へ変形.
  2. 2次関数の最大・最小値問題へ帰着.もちろん平方完成.
  3. 定義域には注意必ず注意.なれないうちはちゃんと丁寧に置き換える.

例題2 ②加法定理,半角・倍角の利用→角度をそろえる

関数 \displaystyle f(x)=2\cos 2x+6\sin^{2}{\frac{x}{2}} の最大値,最小値を求めよ.

解答

倍角・半角の公式より,

\begin{align*}
f(x)&=2\cos 2x+6\sin^{2}{\frac{x}{2}}  ~~~~{}^{★1}\\
&=2(2\cos^{2}x-1)+6\cdot\frac{1}{2}(1-\cos x) ~~~~{}^{★2}\\
&=4\cos^{2}x-3\cos x+1\\
&=4 \left(\cos x-\frac{3}{8} \right)^2-\frac{9}{16}+1
\end{align*}
f:id:mathchem:20170227162923p:plain:w250:right

-1≦\cos x≦1 なので,右図から,

f(x) の最小値は -\displaystyle \frac{9}{16}+1=\frac{7}{16} であり,最大値は ]4(-1)^2-3\cdot(-1)+1=8]



★ポイント

  1. 2乗がありますが,\sin^2\theta +\cos^2\theta=1 は角度がそろってないと使えない.
  2. ②に進み,半角・倍角公式を用いて角度をそろえます.後半は1番と同様ですね.

例題3 ③1次の \sin, \cos の和なら合成の利用→\sin の1次式へ

. \displaystyle \sin 2\theta-\cos 2\theta\ \ \left(0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\right) の最大値,最小値を求めなさい.

解答


\sin 2\theta-\cos 2\theta =\sqrt{2}\sin\left( 2\theta-\frac{\pi}{4}\right)~~~~{}^{★1}

f:id:mathchem:20170227162935p:plain:w150:right

-\dfrac{1}{\sqrt2}≦\sin\left( 2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)≦1なので,{}^{★2}
-1≦\sqrt 2\sin\left( 2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)≦\sqrt 2となる.

従って,求める最大値は -1,最小値は \sqrt 2



★ポイント

  1. すでに角度はそろっています.目標は \sin\cos 一方の式を作ることなので,合成を用いてまとめます.
  2. \sin の1次式なので,単位円を書いて取り得る範囲を調べます.



例題4 ②角度をそろえ直す

0\displaystyle \leqq x\leqq\frac{\pi}{4} のとき,関数  y=\cos^2 x+4\sqrt{3}  \sin x \cos x-3\sin^2 x の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの x の値を求めよ.


【解答】
倍角・半角公式から

\begin{align*}
y&=\cos^2 x+4\sqrt{3}  \sin x \cos x-3\sin^2 x ~~~~{}^{★1}\\
&=\displaystyle \frac{(1+\cos 2x)}{2}+2\sqrt{3}\sin 2x-\frac{3}{2}(1-\cos 2x)~~~~{}^{★2}\\
&=4\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)-1\\
&=4\sin \left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-1 ~~~~{}^{★3}
\end{align*}
f:id:mathchem:20170227162939p:plain:w150:right

角度の範囲が \displaystyle \frac{\pi}{6}\leqq 2x+\frac{\pi}{6}\leqq\frac{2\pi}{3} なので,\dfrac{1}{2}≦\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)≦1となる.

よって 2x+\displaystyle \frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}, すなわち x=\displaystyle \frac{\pi}{6} のとき最大値 3 をとる.2x+\displaystyle \frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}, すなわち x=0 のとき最小値 1 をとる.


★ポイント

  1. 1番の問題のように \sin^2\theta +\cos^2\theta=1 を使おうとする子が多いですが,\sin, \cos の積があるのでうまくいきません.
  2. ➀が無理なら②を.このままでは式変形がきついので倍角・半角を利用して角度を揃え直します.これにより合成できる形へ.
  3. 1次の三角関数なので,やり方は3番と同じです.

例題5 ④\sin, \cos の対称式なら基本対称式 t=\sin \theta+\cos \theta と置換→t の2次や3次関数へ帰着

 y=\sin\theta-4\sin\theta\cos\theta+\cos\theta の最大値, 最小値を求めよ.

解答


y=\sin\theta-4\sin\theta\cos\theta+\cos\theta~~~~{}^{★1}
 t=\sin\theta+\cos\thetaとおく.
 t^{2}=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta=1+2\sin\theta\cos\theta ~~~~{}^{★2}
より 2\sin\theta\cos\theta=t^{2}-1 となるので,

\begin{align*}
y &=\sin\theta+\cos\theta-2\cdot2\sin\theta\cos\theta\\
&=t-2(t^2-1)=-2t^2+t+2\\
&=-2\left(t-\displaystyle \frac{1}{4}\right)^2+\displaystyle\frac{1}{8}+2
\end{align*}
\
[f:id:mathchem:20170227162930p:plain:w200:right

ここで,t の範囲を調べる.t=\displaystyle \sqrt{2}\sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) と変形でき,{}^{★3}
 0\leqq\theta<2\pi であるから -1≦\displaystyle \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)≦1 となり,t の範囲は -\sqrt{2}≦t≦\sqrt{2} となる.

そしてグラフを考えると y の最大値は,t=\displaystyle \frac{1}{4} のときで \displaystyle \frac{1}{8}+2=\frac{17}{8}, y の最小値は,t=-\sqrt{2} のときで -2\cdot 2+(-\sqrt{2})+2=-2-\sqrt{2}


★ポイント

  1. \sin, \cos の対称式は \sin, \cos を入れ替えても同じ式になる)の処理の仕方④は要暗記です.置換しないとどうにもできない.
  2. t の式へ変形するために,t=\sin \theta+\cos\theta を2乗して \sin, \cos の積の形を t で表現します.数Iで扱った対称式の解法と同じですね.
  3. そして一番注意して欲しいのが置き換えたらちゃんと範囲を調べること!範囲を調べることは最大値と最小値を調べることと同じことなので,何をやればよ良いか,もう大丈夫ですね.
  4. また,3次の対称式なら3乗して3次関数へ帰着.3次関数の最大・最小は微分して調べる.さらに,入試では誘導付きで様々な置換をさせられますが,やることは同じです.
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