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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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二項定理の考え方 〜思考力,発想力なんかいらない!〜

解法まとめ 解法まとめ-二項定理

二項定理の考え方

(a+b)^n={}_n \mathrm{C}_{0}\cdot a^0\cdot b^n+{}_n \mathrm{C}_{1}\cdot a^1\cdot b^{n-1}+{}_n \mathrm{C}_{2}\cdot a^2\cdot b^{n-2}+\cdots+{}_n \mathrm{C}_{n}\cdot a^n\cdot b^0


二項定理は証明問題でよく出題されるのできちんと理解したい.場合の数で考えます!

簡単な例から一般化していきます.


(a+b)^3の展開を場合の数の視点で見ます.

単純に展開すると
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

これを場合の数で.

(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)
      ↓   ↓   ↓
a^3の係数  a   a   a のように取り出してかけ合わせて得られる.

同じように, a^2bの係数を考えます.


a^2bの係数  a   a   b
他にも    a   b   a
       b   a   a


a^2bは全部で3つ出てくるので係数が3となる.
これを場合の数で考えます,3つの箱からaを選ぶのは,{}_3 \mathrm{C}_{2}=3通りです.このように場合の数でとらえてみましょう.b
を1個選ぶと考えも同じです.

これを一般化すると二項定理の公式になります.




(a+b)^n

  • a, 0個の選び方,(bn個の選び方)→_n \mathrm{C}_{0} 通り.これが a^0\cdot b^n の係数.
  • a, 1個の選び方,(bn-1個の選び方)→_n \mathrm{C}_{1} 通り.これが a^1\cdot b^{n-1} の係数.
  • a, 2個の選び方,(b{n-2}個の選び方)→_n \mathrm{C}_{2} 通り.これが a^2\cdot b^{n-2} の係数.

  ・
  ・
  ・

  • a,  n個の選び方,(b{0}個の選び方)→_n \mathrm{C}_{n} 通り.これが a^n\cdot b^0 の係数.

従って,(a+b)^nを全て展開すると

(a+b)^n={}_n \mathrm{C}_{0}\cdot a^0\cdot b^n+{}_n \mathrm{C}_{1}\cdot a^1\cdot b^{n-1}+{}_n \mathrm{C}_{2}\cdot a^2\cdot b^{n-2}+\cdots+{}_n \mathrm{C}_{n}\cdot a^n\cdot b^0

となる.

例題

(x+2y)^{6} の展開式における  y^{3} 係数は【ア】である. (x+2y-3z)^{b} の展開式における x^{3}y^{2}z の係数は【イ】である.

(12 京都産大・文系)


ここでは計算問題を通して二項定理の理解を深めていきます.二項定理は場合の数なんやーって理解できればばっちりです!
【解答】

【ア】 6つの因数(x+2y)(x+2y)(x+2y)(x+2y)(x+2y)(x+2y) それぞれからxを3個, 2yを3個を選ぶ.
{}_6 \mathrm{C}_{3}\cdot x^3\cdot ({2y}^3) を整理したものが求める係数で,{}_6 \mathrm{C}_{3}\cdot 2^3=160


【イ】 項が3つありますが,【ア】と同様に考えます.

6つの因数
(x+2y-3z)(x+2y-3z)(x+2y-3z)(x+2y-3z)(x+2y-3z)(x+2y-3z)

それぞれから xを3個,2yを2個, -3zを1個選べばよい.

 {}_{6} \mathrm{C}_3 \cdot {}_{3}\mathrm{C}_{2} \cdot x^3(2y)^{2} (-3z)を整理した係数が求めるもので  -720となる.

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