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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2012 東京大 2変数関数 〜東大の数学〜

東大 東大-数学 2変数関数

2012 東京大 文系 第一問

座標平面上の点 (x, y) が次の方程式を満たす.2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0 このとき,x のとりうる最大の値を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!!!

威圧感は0ですが,シンプル過ぎて怖いです.

解法はすぐ浮かんだでしょうか? 


x の最大値ということで,x= ついて解いてしまうと数Ⅲの知識が必要に.
そこで,f(x,\ y)=2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4 の2変数関数とみて,f(x,\ y)=0 なる条件を考えます.

今回の必要な知識・解法

  • 2変数関数の処理の仕方

mathchem.hatenablog.com

2変数関数は一文字固定が基本でしたね!

今回求めたいものは,x の最大値なので,x 固定して,y の関数としてみると普通の実数解の問題になります.


それでは解いていきましょう!!!


解答


方程式 2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0y二次方程式とみる.
  3y^{2}+(4x+5)y+2x^{2}+4x-4=0
これを満たす実数  y が存在するための条件は,判別式を考え,

    (4x+5)^{2}-12(2x^{2}+4x-4)\geqq 0

である.これを解くと

    8x^{2}+8x-73\leqq 0

  ∴ 2\cdot(2x)^{2}+4\cdot 2x-73\leqq 0

  ∴ \dfrac{-2-5\sqrt{6}}{2}\leqq 2x\leqq\dfrac{-2+5\sqrt{6}}{2}

  ∴ \dfrac{-2-5\sqrt{6}}{4}\leqq x\leqq\dfrac{-2+5\sqrt{6}}{4}

よって, x の最大値は  \dfrac{-2+5\sqrt{6}}{4} となる.



★どうでしたか?東大の入試問題といえど,2変数関数の処理の方法をしっていれば高校1年生でも十分解答可能な問題でした.基本って本当に大切です.

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