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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2012 京大 2変数関数 〜京大の数学〜 

京大 京大-数学 2変数関数

2012 京大 理系 第3問

実数 x,\ y が条件 x^2+xy+y^2=0 を満たしながら動くとき

   x^{2}y+xy^{2}-x^{2}-2xy-y^{2}+x+y

がとりうる値の範囲を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!!!

今回の京大はどうでしょうか.見た目はシンプル.なんとかなりそう...

ともあれまず問題文をしっかりと呼んで,方針をたてましょう.


与えらた関数は,2変数関数.よくみると対称式なので,

  • 2変数関数の解き方

mathchem.hatenablog.com

あれ,ここで似たようなの解いたことあるような...



そうです.


基本対称式を利用します.



それでは解いていきましょう!!!


解答

F=x^{2}y+xy^{2}-x^{2}-2xy-y^{2}+x+y とする.
F=xy(x+y)-(x+y)^2-(x+y)^{2}+x+y\cdots① と変形し,

また,
  x^2+xy+y^2=6 から (x+y)^2-xy=6
そして
  x+y=t とおくと,xy=t^2-6
よって,①は
  F=(t^{2}-6)t-t^2+t=t^{3}-t^{2}-5t となる.

置き換えなので,範囲に注意.x,\ y が実数なので,x+y,\ xy ともに実数となる.

そして,x,\ y が実数であるためには,x,\ y を解に持つ2次方程式

  u^{2}-tu+t^{2}-6=0

を考え,t^{2}-4(t^{2}-6)\geqq 0 であればよい.  

  ∴ t^{2}\leqq 8
∴ -2\sqrt{2}\leqq t \leqq 2\sqrt{2}


そして,
  f(t)=t^{3}-t^{2}-5t  (-2\sqrt{2}\leqq t\leqq 2\sqrt{2})
とおき,グラフを考える.このグラフの範囲が求める範囲となる.
  f'(t)=3t^{2}-2t-5=(3t-5)(t+1)
より,f(t) のグラフは次のようになる.

f:id:mathchem:20170302120407j:plain:w350

最大値,最小値のは候補を評価する.

最大値の候補は,f(-1),\ f(2\sqrt2)
最小値の候補は,f(-2\sqrt 2), f\left(\dfrac{5}{3}\right) である.

それぞれ計算すると
f(-1)=3,
f(\pm2\sqrt{2})=-8\pm 6\sqrt{2} (複号同順),
f \left(\dfrac{5}{3}\right)=-\dfrac{175}{27}=-6.\cdots

-8+6\sqrt{2}<3 であるから,f(t) のとりうる値の範囲は

  -8-6\sqrt{2}\leqq f(t)\leqq 3

となり,これが求める範囲である.

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