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数学に思考力,発想力なんかいらない!

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確率漸化式とその解き方 〜思考力,発想力なんかいらない〜

解法まとめ 解法まとめ-確率漸化式

確率漸化式とそのの解き方

難関大でも頻出の確率漸化式.

n 回(秒)の操作(移動)等で直接確率が求めにくい場合,漸化式を作ることで確率が求めやすくなることがあります.

いつでも使えるか,というとそうではなく,
使える状況には限りがあるので注意してください.

では,どういいったときに使えるかというと,


n 回目の確率(状態)を全て表せ,

n+1 回目の確率を n 回目の確率を使って表わすことができるとき

です.


一言で言ってしまえば,漸化式が作れるとき!です.


タイトルに確率漸化式って書いてあるからそりゃそうだろと思うかもしれませんが、、、


ですが,太字の部分がちゃんとわかっていないと,問題によっては漸化式が作れません...




簡単に説明してきましたが,よくわからん部分も多いと思いますので,


実際に問題を解きながら理解を深めていってもらえればと思います.


それでは解いていきましょう!


例題

数直線上を動く点 P が,最初原点の位置にある.1個のさいころをくり返し投げ,1回投げるごとにさいころの出た目に応じて次の操作を行う.

  • さいころの出た目が奇数のときは,点 P を+1だけ移動させる.
  • さいころの出た目が2または4のときは,点 P を動かさない.
  • さいころの出た目が6のときは,点 P が原点の位置になければ点 P を原点に移動させ,点 P が原点の位置にあれば動かさない.

さいころを n 回投げた後に点 P が原点にある確率を p_{n} とする.
(1) p_1p_2 をそれぞれ求めよ.
(2) n≧1 のとき,p_{n+1}p_{n} を用いて表せ.
(3) p_nn の式で表せ.

(16 青山学院大・経営)

解答・解説

(1) まずは,1回目,2回目で実験ですね.

P が1回目に原点にあるのは,1回目に2, 4, 6のどれかがでたとき,

   p_{1}= \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

P が2回後に原点にあるのは,

  • 1回目に原点にあって (1投目は 2,4,6) 2 投目も2, 4, 6のとき
  • 1回目に 1にいて (1投目は奇数) 2投目が6のとき.

   p_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}

(2) 漸化式を作っていきますよ!

漸化式の作り方
n 回目と n+1回目の状態遷移を考える!

です.どういうことか,図を描くとわかりやすい.

f:id:mathchem:20170305172541p:plain:w300


漸化式は a_{n+1}= という形が一般的なので,p_{n+1}= の形を目標に,

図のように

n 回目の確率を全て書き,n+1 回目になる操作を書く!

n 回目に原点にいる確率を p_n とすると,
n 回目は原点にいるか,いないか(1-p_n)に分けられます.

そして,

つぎに,p_{n+1} になる操作を考えると

(i) n 回目に原点にあり (確率 p_n) ,n+1 回目に2, 4, 6が出ればよい(確率1/2).
(ii) n 回目に原点におらず(確率 1-p_{n}) ,n+1 回目に6が出ればよい(確率1/6).

②①から関係式を作る!

よって,p_{n+1}

   
\begin{align}
p_{n+1}&=p_{n}\cdot\dfrac{1}{2}+(1-p_{n}) \cdot\dfrac{1}{6}\\
&=\dfrac{1}{3}p_{n}+\dfrac{1}{6}\cdots①
\end{align}

となる.

補足

今回,n 回目について,原点にいるか,いないかの2つの状態から p_{n+1} を求めることができましたが,東大,京大,といった難関大では n 回目の状態が3つ以上(p_n,\ q_n,\ r_n)に場合もあります.しかも一から自分で設定させて一から漸化式を作らねばなりません...ヒントなしで作る練習が必要になってきます.

(3) 漸化式を解くと...

(2)から

   p_{n+1}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}\left(p_{n}-\dfrac{1}{4}\right)

と変形でき,

\alpha を求める過程は書く必要ありません.単なる式変形なので
\left(\alpha=\dfrac{1}{3}\alpha+\dfrac{1}{6} ∴ \alpha=\dfrac{1}{4}\right)

p_{0}=1 としてよく,このとき①は n\geqq 0 で成り立つ.よって,

   p_{n}- \dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\left(p_{0}-\dfrac{1}{4}\right)

となり,

   p_{n}= \dfrac{1}{4}\left(1+\dfrac{1}{3^{n-1}}\right)

これが求めたい確率です!

等比数列の場合
一般項 a_{n}=a_{1}r^{n-1} が良くみる形です.

a_{0}でも成り立てば,a_{n}=a_{0}r^{n}

と書けます.確率漸化式はa_0 が簡単なので,a_0 から求めた方が楽になることも多いので意識しておくと良いでしょう.

まとめ

確率漸化式の威力を体感してもらえたでしょうか?

この問題は設定が用意されているので,漸化式が作りやすいのですが,

難関大の場合は一から作らねばなりません.

この「作る」のが難しいのですが,きちんと練習を積めば,自分で作れるようになりますよ♪


確率漸化式は確率を求める「道具」として是非覚えておいてください!

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