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相加相乗平均の関係とその使い時

解法まとめ 解法まとめ-相加相乗平均

思考力,発想力なんかいらない

相加相乗平均の関係とその使い時

相加相乗平均は数IIでちょこっとやるだけで,それ以降の授業ではあまり出てきません.
気づいたらあれ?なんやっけ??となることも...


相加相乗平均を使わなくても微分で求められる問題も多いのですが,

知っていれば楽になるので押さえておきたいところです.

相加相乗平均の関係って?

まず,言葉の意味を
n 個の数を全部足した n で割ったものを相加平均といい,
n 個の数を全部かけて n 乗根をとったもの相乗平均と呼びます.

相加(足し算)平均は,よく使う平均ですね.相乗(掛け算)平均は身近ではない,ですが何となくわかると思います.相乗効果とか言ったりしますし.


 相加相乗平均の関係
   n_1>0,\ n_2>0, \cdots n_n>0のとき,

      \dfrac{n_1+n_2+\cdots+n_n}{2}≧\displaystyle\sqrt[n]{n_1\cdot n_2\cdots n_n}

   等号成立は n_1=n_2=\cdots=n_n のとき.

という公式です.相加平均の方が相乗平均も大きい!って覚えると覚えやすいです.

教科書では n 個の相加相乗平均の関係は取り上げれておらず,扱われるのは2数のときで,

   a>0,\ b>0のとき,

      \dfrac{a+b}{2}≧\displaystyle\sqrt{a\cdot b}

   等号成立は a=b のとき.

2数の相加相乗平均の不等式の証明はできるようにしましょう!覚えるためにも!!!

二乗してルートを外して少し整理すれば証明できるので,自分でやってみてください♪

相加平均と相乗平均,どっちが大きいかよくわからんくなることがるので,あれ?どっちだっけかってなったら証明してみてくださいね.

それでは,使い時を整理して行きます。
公式だけ知っていても意味はあまりないので,何に使うのか,をしっかり覚えてください.

相加相乗平均の関係とその使い時

最大・最小値問題,不等式証明問題で,
「逆数の和の関係」があるとき

です.最大値・最小値問題,不等式証明の問題を解く道具として覚えておきましょう.


実際に問題を解きながら,慣れていきましょう.

例題 最大・最小値問題

(1) a>0,\ b>0 のとき,\left(a+\displaystyle \frac{2}{b}\right)\left(b+\dfrac{8}{a}\right) の最小値と,このときの ab を求めよ.
(2) a>1 のとき,\displaystyle \frac{a-1}{a^{a}-2a+5} の最大値と,このとき aを求めよ.

ポイント

(1) 最大値・最小問題です.このままではやりずらそう?なので,まずは展開してみます.2変数なので,2変数の最大最小も思い浮かびますが,

式をよくみると,ab,\ \dfrac{16}{ab}の逆数の和が見えます.こういうとき,相加相乗平均の出番です.相加相乗平均の関係から不等式が作れるので,最小値を求めることができます.

(2)これは少し工夫が必要です.このまま最大・最小問題の解法を考えると分数関数なので微分法ですね.ですが数Ⅲの微分法が必要になってしまうので,ここでは工夫して微分を避けてみます.

解答・解説

(1)
   
\begin{align}
\left(a+\frac{2}{b}\right)\left(b+\frac{8}{a}\right)&=ab+\frac{16}{ab}+10\\
&\geqq 2\sqrt{ab\cdot\frac{16}{ab}}+10=18
\end{align}

であり,等号は,ab=\dfrac{16}{ab}\ \ ∴\ \ ab=4のとき成り立つ.

よって,\left(a+\displaystyle \frac{2}{b}\right)\left(b+\dfrac{8}{a}\right) の最小値は18であり,このとき a b=4 である.


(2)
 a>1 のとき,t=a-1 とおくと,t>0 であるから,

   
\begin{align}
\frac{a-1}{a^2-2a+5}&=\frac{a-1}{(a-1)^2+4}\\
&= \dfrac{t}{t^2+4}\\
&=\dfrac{1}{t+\dfrac{4}{t}}\\
&\leqq\dfrac{1}{2\sqrt{t\cdot\dfrac{4}{t}}}=\dfrac{1}{4}
\end{align}

であり,等号は,t=\dfrac{4}{t}\ \ ∴\ \ t=2\ \ ∴\ \  a=3のとき成り立つ.

よって,\displaystyle \frac{a-1}{a^2-2a+5} の最大値は \displaystyle \frac{1}{4} であり,このとき a=3 である.

★ここでは,工夫して逆数の和の関係 t,\ \dfrac{4}{t}を作り出しています.こうすることで微分よりもぐっと楽に最大値を求めることができました.

★すぐに使いこなすことは難しいとは思いますが,最大最小,不等式証明の道具として相加相乗平均の関係を持っておいてください.出題頻度はそこまで多くないですが,使えると他の受験生と差を付けることができるかと思います.

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