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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2011年 京大 実数解の個数 〜京大の数学〜

京大 京大-数学 実数解の個数

2011年 京都大 文系

実数 a が変化するとき,3次関数 y=x^{3}-4x^{2}+6x と直線 y=x+a
のグラフの交点の個数はどのように変化するか.a の値によって分類せよ.

思考力,発想力なんかいらない!

グラフの交点なので,連立です.
すると方程式が作れるので,交点の個数は実数解の個数,と言い換えられます.

必要な解法

実数解の個数問題とその解き方
mathchem.hatenablog.com

文字定数分離が思い浮かべばOKです!


それでは解いていきましょう!

解答

    x^{3}-4x^{2}+6x=x+a
   x^{3}-4x^2+5x=a
より,

y=f(x)=x^{3}-4x^{2}+5xy=a の交点の個数を考える.

   
\begin{align}
f'(x)&=3x^{2}-8x+5\\
&=(x-1)(3x-5)
\end{align}

f(1)=2,

\begin{align}
f\left(\frac{5}{3}\right)&=\frac{125}{27}-\frac{100}{9}+\frac{25}{3}\\
&=\frac{50}{27}
\end{align}
f:id:mathchem:20170308181320p:plain:w300:right
よって,グラフは図のようになる.
グラフから求める交点の個数は,
a< \dfrac{50}{27},\ a>2 のとき1個,
a= \dfrac{50}{27},\ a=2 のとき2個,
\dfrac{50}{27}\lt a \lt 2 のとき3個
となる.

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