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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2012年 京大 文系 確率・考えやすいように言い換える 〜京大の数学〜

京大 京大-数学 確率 言い換え

2012年 京大 文系

n を3以上の整数とする.1から n までの番号をつけた n 枚の札の組が2つある.これら 2n 枚の札をよく混ぜ合わせて,札を1枚ずつ3回取り出し,取り出した順にその番号を X_{1},\ X_{2},\ X_{3} とする.X_{1}\lt X_{2} \lt X_{3} となる確率を求めよ.ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする.

思考力,発想力なんかいらない!

考えやすいように言い換えます.

基本題はこちらです.
mathchem.hatenablog.com



それでは解いていきましょう.

解答

札はすべて区別して,取り出した札3枚の順列は 2n(2n-1)(2n-2) 通り
X_{1}\lt X_{2}\lt X_{3}となるのは,異なる番号の札3枚を選び,小さい順に左から並べることである.

1〜n から異なる番号3つの選び方は {}_{n}\mathrm{C}_{3} 通り,

その番号の札は組のどちらなのかで2通り,

求める確率は
   
\begin{align}
& \dfrac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}\cdot 2^{3}}{2n(2n-1)(2n-2)}\\
&=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3n(2n-1)(n-1)}\\
&=\dfrac{n-2}{3(2n-1)}
\end{align}

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