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不定方程式とその解き方

解法まとめ 整数

不定方程式とその解き方

  • 2元1次不定方程式なら具体的な解を1つ(特殊解)
  • 積の形へ
  • 範囲を絞る

2元1次不定方程式 基本

 6x-7y=13 を満たす整数解をすべて求めよ.

考え方

 y=\dfrac{6}{7}x-\dfrac{13}{7}

と変形すると直線の式になりますから,これを満たす解は無数にありそうです.

1個1個,調べるわけにはいきませんから,次のように解きます.

解答

 6x-7y=13\cdots① の特殊解は見つけにくいです, 6x-7y=1 ならどうでしょうか?

 6x-7y=1 を満たす,整数解の一つは  (6,\ 5)

    6\cdot 6-7\cdot5=1

両辺13倍して,

    13\cdot6\cdot6-13\cdot7\cdot5=13\cdots②

①-②より

    6(x-13\cdot6)-7(y-13\cdot5)=0

    6(x-13\cdot6)=7(y-13\cdot5)\cdot2\cdots③

6, 7は互いに素なので、 x-13\cdot6 は7の倍数で, y-13\cdot5 は6の倍数となる.

よって, x-13\cdot6=7k  ∴ x=7k+78

③に代入して,

    6\cdot 7k=7(y-13\cdot 5)
    6k=y-13\cdot 5  ∴ y=6k+65

2元1次不定方程式 互除法の利用

 1次不定方程式  17x+22y=1 の整数解をすべて求めよ.

考え方

前問の問題は  x,\ y の係数が小さかったてめ解が見つけやすかったです.今回はどうでしょうか.

係数が大きすぎて見つけることが 難しい...

そんなときは互除法を使い,1=17〇+22△を作ります.

解答

    22=17\cdot 1+\underline{5} ,  17=5\cdot 3+\underline{2} ,  5=2\cdot 2+\underline{1}

であるから,(1, 2, 5の順に代入して)

    
\begin{align}
\underline{1}&=5-\underline{2}\cdot 2\\
&=5-(17-5\cdot 3)\cdot 2\\
&=\underline{5}\cdot 7-17\cdot 2\\
&=(22-17\cdot 1)\cdot 7-17\cdot 2\\
&=17\cdot(-9)+22\cdot 7
\end{align}

 17x+22y=1 から  17 (-9)+22\cdot 7=1 を辺々引き

    17(x+9)+22(y-7)=0
    17(x+9)=22(7-y)

17と22は互いに素であるから,

 x+9=22k ( k は整数)

このとき, 7-y=17k であるから,

    x=22k-9,\ y=-17k+7 (  k は整数)


2元1次不定方程式 工夫

 25m+17n=1623 を満たす整数解をすべて求めなさい.

考え方

2元1次不定方程式のラストです.特殊解を見つけたいですが,どれも数が多きすぎます.

右辺が1623 と大きいですから,1623を25と17で表わせないか?と考えます.

1623=25〇+17△ を目指しましょう.

その1,その2の解き方と少し異なりますが,目標は同じです.

解答

    
\begin{align}
1623&=25\cdot 17\times 3+25\cdot 1+17\cdot 19\\
&=25(17\times 3+1)+17\cdot 19\\
&=25\cdot 52+17\cdot 19
\end{align}

 25m+17n=1623から25\cdot 52+17\cdot 19=2016 を辺々引いて

    25(m-52)+17(n-19)=0

    25 (m-52)=17(19-n)\cdots①

右辺は17の倍数だから左辺も17の倍数.

    m-52=17k (  k は整数)

とおけ,このとき①に代入して  25k=17(19-n)

    n=-25k+19

    m=17k+52,\ n=-25k+19


積の形へ その1

 xy-6x+2y-19=0 を満たす整数解をすべて求めよ.

考え方

このままでは考えにくいです.式変形するしかないでしょう.

どう変形するか?

(〇+△)×(□+●)=整数

を目指します.「掛けて整数になるもの」はそのままよりずっと考えやすいです.


2次や3次式の不定方程式は積の形を目指しましょう,

解答

 xy-6x+2y-19=0 より,

    x(y-6)+2(y-6)-7=0
    (x+2)(y-6)=7

かけて7になるものを考えればよいので,

    x+2=-1,\ y-6=-7
    x+2=-7,\ y-6=-1
    x+2=1,\ y-6=7
    x+2=7,\ y-6=1

となり,整理して

 (x,\ y)=(-3,\ -1),\ (-9,\ 5),\ (-1,\ 13),\ (5,\ 7)

積の形へ  その2

 2m^2-mn-m+n=18 を満たす自然数  m,\ n を求めよ.

考え方

積の形へ その2 と同様です.

解答

 2m^2-mn-n^2-m-n=18 より,
    (2m+n)(m-n)-(m-n)=18
    (2m+n-1)(m-n)=18

★しらみつぶしに全部調べても良いのですが,連立方程式が多くなってしまいます.
そこで自然数という範囲を利用して範囲を絞ります.

 n,\ n自然数より  2m+n-1\geqq 2 ,  2m+n-1=m+n+(m-1)\gt m-n なので,

    (2m+n-1,\ m-n)=(6,\ 3),\ (9,\ 2),\ (18,\ 1)

連立方程式を解くと, (2m+n-1,\ m-n)=(9,\ 2) の組だけ自然数を満たす.

よって,求める解は  (m,\ n)=(4,\ 2)

範囲を絞る

上の例題でも範囲を絞りましたが,条件を使って範囲を絞ることで求めやすく問題も少なくありません.
困ったら範囲を絞りましょう.

範囲を絞る 例題1

方程式  xyz=x+y+z を満たす自然数の組を求めよ.ただし, x≦y≦z とする.

考え方

文字が3つあるので,考えにくいです.そんなときは不等式を利用して範囲を絞ります.

解答

 x≦y≦z\cdots① より,

    xyz=x+y+z\leqq z+z+z=3z

x,\ yz に置き換えることで不等式を作っています.この置き換えは,範囲が絞れるように置き換えます.


 z>0 より  xy\leqq 3 よって,

    (x,\ y)=(1,\ 1) ,\ (1,\ 2) ,\ (1,\ 3)

(i)  (1, 1) のとき,  z=2+z となって,不適.
(ii)  (1, 2) のとき,  2z=3+z より  z=3
(iii)  (1, 3) のとき,  3z=4+z より  z=2

①を満たすには,(ii)だけで,

    x=1,\ y=2,\ z=3

範囲を絞る 例題2

 2\leqq p\lt q\lt r を満たす整数  p,\ q,\ r の組で
    \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}\geqq 1
となるものをすべて求めよ.

考え方

これも前問と同様に文字が3つなので考えにくいです.

不等式を利用して範囲を絞ります.

解答

  2\leqq p\lt q\lt r より  \dfrac{1}{r}\lt \dfrac{1}{q}\lt \dfrac{1}{p}
であるから,

    1 \leqq\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}<\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p}=\dfrac{3}{p}

   ∴  1< \dfrac{3}{p}

よって, 2\leqq p<3 となり, p=2

★範囲が絞れるように置き換えています.

従って,与式に代入して

    \dfrac{1}{2}\leqq\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} ∴ \dfrac{1}{r}<\dfrac{1}{q}

    \dfrac{1}{2}\leqq\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}<\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{2}{q}

   ∴  \dfrac{1}{2}<\dfrac{2}{q}

★最初と同じように範囲を絞っています.

よって, q<4 で, q>p=2 より  q=3

従って,p=2,\ q=3 を与式に代入して

     \dfrac{1}{6}≦ \dfrac{1}{r}  ∴ r>q=3

これより, 3\lt r\leqq 6

以上を踏まえ,

    (p,\ q,\ r)=(2,\ 3,\ 4),\ (2,\ 3,\ 5),\ (2,\ 3,\ 6)

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