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Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

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数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
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2009年 一橋大 整数問題 不定方程式 〜一橋大の数学〜

一橋大 数学 整数 不定方程式

2009年 一橋大

2以上の整数 m,\ nm^{3}+1^{3}=n^{3}+10^{3} をみたす.m,\ n を求めよ.

思考力,発想力なんかいらない!

不定方程式です.今回は3次の不定方程式なので積の形へ.

解答

m^{3}-n^{3}=10^{3}-1^{3}=999=3^{3}\times 37

(\underline{m-n})(\underline{m^{2}+mn+n^{2}})=3^{3}\times 37\cdots ①

★下線部の情報を整理しましょう.どちらが大きいかでも分かれば手数が減ります.

右辺正から左辺も正,

m,\ n>0 から m^{2}+mn+n^{2}>0

よって, m-n>0 ∴m>n

また,

   \begin{align}
& (m^{2}+mn+n^{2})-(m-n)\\
&=m(m-1)+mn+n^{2}+n>0 (∵m\geqq 2)
\end{align}

よって,0\lt m-n\lt m^{2}+mn+n^{2} であり,①より

   
\begin{align}
& (m-n,\ m^{2}+mn+n^{2})\\
&=(1,\ 999),\ (3,\ 333) ,\ (9,\ 111) ,\ (27,\ 37)
\end{align}

(i) m-n=1,\ m^{2}+mn+n^{2}=999 のとき,
m=n+1 で,(n+1)^{2}+(n+1)n+n^{2}=999

   3n^{2}+3n=998

左辺は3の倍数で,右辺は3の倍数でないから不適.

(ii) m-n=3,\ m^{2}+mn+n^{2}=333 のとき,

m=n+3 で,(n+3)^{2}+(n+3)n+n^{2}=333

   n^{2}+3n-108=0
   (n-9)(n+12)=0

n\geqq 2 により,n=9,\ m=12


(iii) m-n=9, m^{2}+mn+n^{2}=111 のとき,

m=n+9 で,(n+9)^{2}+(n+9)n+n^{2}=111

   n^{2}+9n-10=0 ∴ (n-1)(n+10)=0

n\geqq 2 を満たすものは存在しないから不適.

(iV) m-n=27,\ m^{2}+mn+n^{2}=37 のとき,

m=n+27 で,(n+27)^{2}+(n+27)n+n^{2}=37

   3n^{2}+81n+27^{2}=37

左辺は3の倍数,右辺は3の倍数でないから不適.

以上から,(m,\ n)=(12,\ 9)

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