読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!

Math Lab

数学に思考力,発想力なんかいらない!!!
MENU

2012年 東工大 ガウス記号 約数 〜東工大の数学〜

東工大 数学 ガウス記号 約数 整数

2012年 東工大

実数 a に対して,a を超えない最大の整数を [a] で表す.10000以下の正の整数 n[\sqrt n] 約数となるものは何個あるか.

思考力,発想力なんかいらない!

ガウス記号の問題は

   a≦[a]\lt a+1,\ [a]≦a<[a]+1

の不等式を利用します.


まずは,状況を把握するためにも,少し実験してみましょう.

n=110 のとき,[\sqrt{110}]=10

110=10×11なので

[\sqrt{110}]=10 は110の約数である.

不等式も利用してみましょう.

   10≦\sqrt{110}\lt11

   100≦110<121

この範囲で,[\sqrt{110}]=10が約数となる n は,10の倍数である,100, 110, 120 の3個


不等式を利用すれば一気に数えられそうですね.

解答

[\sqrt{n}]=k とおく,

   k\leqq\sqrt{n}\lt k+1
   k^{2}\leqq n\lt (k+1)^{2}=k^2+2k+1
   k^{2}\leqq n\leqq k^{2}+2k

この範囲で,k の倍数であるのは,

n=k^{2},\ k^{2}+k,\ k^{2}+2k

n\leqq 10000 なので,1\leqq k\leqq 100

(i) 1\leqq k\leqq 99 のとき,上の3個とも条件を満たす.

(ii) k=100 のとき, k^{2} のみが③を満たす.

よって,求める個数は,3\cdot 99+1=298

広告を非表示にする